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离散数学。非空集合A上的全关系具有什么性质?

归档日期:08-20       文本归类:非自反性      文章编辑:爱尚语录

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  展开全部全关系,是指集合中任意元素之间(包括元素与自身),都有此关系成立。

  关系图: R是集合上的二元关系,若R,由结点aI画有向弧到bj构成的图形.

  h对称性若 ,则 ;矩阵 是对称矩阵,即 ;关系图中有向弧成对出现,方向相反.

  h传递性若 且 ,则 ;在关系图中,有从a到b的弧,有从b到c的弧,则有从a到c的弧. 判断传递性较为困难.

  设A,B为任意集合,一个从An到B的映射,称为集合A上的一个n元运算。如果B A,则称该n元运算时封闭的。

  一个非空集合A,连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk所组成的系统,称为一个代数系统,记作:A, f1,f2,…,fk。

  (1)封闭性:对任意a,b∈A,若有a*b∈A,则称运算*关于集合是封闭的。

  (2)结合律:对任意a,b,c∈A,若有a*(b*c)=(a*b)*c,则称运算*在集合A是可结合的,或称运算*在A上满足结合律。

  (3)交换律:对任意a,b∈A,若有a*b=b*a,称为运算*在A上市可交换的,或称*运算在A上满足交换律。

  (4)幂等率:若对 a∈A,有a*a=a,则称运算*在A上市幂等的,或称运算×在A上满足幂等率。

  (6)吸收率:若 和*满足交换律而且有: a,b∈A,并有a (b*c)=a和a* (b c)=a,则称 和*运算时可吸收的,或称 和*运算满足吸收率。

  定义4.1.4 设*为集合A上的二元运算,若存在 (或 ),使得对于 x∈A,都有 (或 ),则称 (或 )是A中关于*运算的左(或右)幺元(或单位元)。如果A中一个元素e,它既是左幺元,又是右幺元,则成e是A中关于运算* 的遥远。

  定义4.1.5 设*式定义在集合A上的二元运算,如果有一个元素 ,对于任意元素 都有 ,则称 为A中关于运算*的左零元;如果有一个元素 ,对于任意元素 都有 ,则称 为A中关于运算*的右零元。如果A中的一个元素 ,他既是左零元,又是右零元,则称 为A上关于运算*的零元。

  设*是集合A上的二元运算,且在A中有关于运算*的左幺元 和右幺元 ,则 ,且A中幺元是惟一的。

  设*是定义在集合A上的二元关系,在A中有关于运算*的左零元 和右零元 那么 ,且A中零元是惟一的。

  定理4.1.3 设有代数系统A,*中,A的元素个数多于1,若其存在关于运算*的单位元e与零元O,则 。

  定义4.1.6 设代数系统A,*中,e是关于*的单位元,若对A中某个元素a,存在A的一个元素b,使得b*a=e,则称b为a 的一个左逆元;若a*b=e,则称b为a的一个右逆元。若一个元素b,既是a 的左逆元,又是a的右逆元,则称b是a的一个逆元,记作 。

  设代数系统A,*,这里*是定义在A上的二元运算,A中存在幺元e,且每一个元素都有左逆元,如果*是可结合运算,那么这个代数系统中,任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元,且每个元素的逆元是惟一的。

  如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数也相同,且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是同类型的代数系统。

  定义4.1.8 设 是代数系统, ,且B对 都是封闭的,B和S还含有相同的代数常数,则称 是V的子代数系统,简称子代数。

  定义4.2.1 设*是集合S上的二元运算,若运算*时封闭的,并且*是可结合的,则称代数系统S,*》为半群。这个定义包括两点,及对于任意 ,

  若半群S,*中存在一个幺元则称S,*为独异点(或含幺半群)。

  设G,*是一个代数系统,其中G是非空集合,*是G上一个二元运算,

  (4)对于每一个元素 ,存在它的逆元 ;则称G,*是一个群。

  设G,*是一个群,如果G是有限群,那么称G,*为有限群,G中元素的个数统称称为该有限群的阶数,记为 。

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